それじゃあ今回からはロケットエンジンの話をしていこう。
話次回からはロケットエンジンの設計の第一ステップの話をする予定なんだけど、その前にエンジンの推力についてのお話をしていこう。

参考図書


今更だけどこのシリーズの参考図書を紹介しよう。



言わずと知れたバイブル「Rocket Propulsion Elements」の 9th edition だよ。米アマゾンで買ったほうが安いこともあるからそっちもチェックしてみてね。僕は米アマゾンで買ったよ。

HOW to DESIGN, BUILD and TEST SMALL LIQUID-FUEL ROCKET ENGINES

1967年初版の「HOW to DESIGN, BUILD and TEST SMALL LIQUID-FUEL ROCKET ENGINES」
有志によって現在は無料でネットで読めるうえ、米アマゾンなんかで紙の本にもなってる本。pdfとかも普通にあるからググってみよう。

到達目標


今回の記事ではロケットエンジンの2種類の推力と比推力について解説するから、それらについて理解することが目標だよ。
特に難しい数学とかはないはずだから、気楽に読めるんじゃないかな。

推力と燃料の質量流量


そもそも推力ってなんだろう?
推力は英語では thrust っていうんだけど、ロケットエンジンが生み出す力のことだよ。SI単位はニュートン。力だからね。

じゃあ定義がわかったところで、数式であらわしてみよう。
ロケットエンジンは燃料を高速で後ろに投げ捨てることによる反作用で推力を生み出してるんだよね。ってことは運動量保存則を使えば推力が求まるんじゃないかな。
壁に取り付けたロケットエンジンが、Δt 秒間で m kg の燃料を c の速度で噴射しながら、Fの推力を生み出している状態を考えよう。ロケットエンジンは壁に固定されているから、運動量保存則より燃料の運動量はすべて壁に加えられる力積に変わるよね。つまり、
\[ F\Delta t\quad =\quad mc \]
が成り立つよね。ここで 両辺を Δ tでわってを 0 に近づけると、
\[ F\quad =\quad \lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \frac { m }{ \Delta t } c } \]ここでロケットエンジンがロケットについてた場合、 m ってロケットの燃料消費量だよね。これの時間微分は単位時間当たりの燃料の質量消費だから、この量を燃料の質量流量と呼ぶことにして、時間微分ってことでmドットで表すことにしよう。すると推力Fは最終的に\[ F\quad =\quad \dot { m } c \]と表せるよね。これがロケットエンジンの推力の式だよ。シンプルでいいね。



例題:一秒間に2600kgの燃料を消費して、2.6km/sの速度で排出するロケットエンジンがある。このエンジンの推力を求めなさい。

質量流量が2600kg/s、c = 2.6km/sなので、F = 2600x2.6x10^3 = 6.8[MN]
アポロ計画に使われたサターンVの一段目にはこのエンジンが5基使われたらしいよ。男のロマンって感じだね。



比推力


さて、突然だけどロケットエンジンの性能を比べたいとしたら、何を比べる?
推力で比べるのはもちろん結構だけど、推力のほかにも効率を比べたいと思わない?
ここでロケットエンジンの効率にあたる一つの指標として、比推力というパラメーターを紹介しよう。

比推力は英語でSpecific impulse っていうんだけど、燃料の単位重量流量あたりの推力 で定義されるよ。なんで質量流量じゃないかは知らない。単位系の関係かもね。
燃料の重量流量はシンプルにmドットと地表における重力加速度の積だよ。
数式であらわすとこうなる。
\[ { I }_{ sp }\quad =\quad \frac { F }{ \dot { w } } \quad =\quad \frac { F }{ \dot { m } { g }_{ 0 } } \]Ispが比推力、wドットは燃料の重量流量、g0は標準重力加速度。
比推力が大きいエンジンほど燃料あたりの推力がでかいってことになるね。

比推力ってホントにこれだけなんだけど、なんか最初はすっごいわかりづらいんだよね。
っていうのも、比推力の単位は秒なんだ。[s] ね。
これをうまく説明するためにwikibediaなんかでは
単位質量の推進剤で単位推力を発生させ続けられる秒数
なんていう説明がされてるんだけど、本質的じゃないし悩むほどのことでもないから無視してもいいと思うよ。

単純に [N]/[kg/s][m/s^2] = [kg m/s^2]/[kg/s][m/s^2] = [s]

ってな具合でたまたま単位が秒になったぐらいの認識でOKだ。
プランク定数の単位が [J s] だからってあんまり気にしなくてもいいじゃん?

それと最後に重要なことなんだけど、実はこの比推力、燃料の組み合わせだけで決まるんだ。(本当は燃焼室圧と温度も決まらないと決まらない)
エンジンの設計段階でまず燃焼室圧を決めるんだけど、この段階で燃料の組み合わせでほぼIspが決まる。
これは後でちゃんと説明するからいまはふ~んぐらいに思ってくれたらいいよ。

有効排気速度


いままでロケットエンジンの推力って燃料の噴射による反作用のみだとして計算してきたよね?
でも実は重量なことを見落としてるんじゃないかな?
Rocket Propulsion Elements の表紙にもなってる、ロケットエンジンの燃料が出てくるベル型の部分のことをノズルっていうんだけど、ノズルの出口と周りの圧力に差があった場合、推力が生じるよね?
例えばノズル出口が150kPaだったとして、大気圧を100kPaとすると、ノズル出口の単位面積あたり50[kN]の推力が生じるよね?
つまりエンジンの推力をF、ノズル出口面積をA2、ノズル出口圧力をp2、燃料噴射速度をv2、周囲の圧力をp3とすると、\[ F\quad =\quad \dot { m } { v }_{ 2 }\quad +\quad \left( { p }_{ 2 }{ -p }_{ 3 } \right) { A }_{ 2 } \]みたいな具合に圧力差による推力の項が入ってくる。
p2はほぼ一定だから、ロケットエンジンの推力は高度によって若干変動してくることになるね。
実は p2=p3 の状態が理想的な状態で、エンジンが動く高度で(一段目なら地表付近、2段目以降なら真空とか)この状態になるようにエンジンを設計しなくちゃいけないんだよね。
これも後々説明するから「ふ~ん」でいいよ。

それでだけど、このままじゃ色々と扱いにくくて不便だから、都合のいいパラメーターを定義しよう。
さっきの推力Fを\[ F\quad =\quad \dot { m } { v }_{ 2 }\quad +\quad \left( { p }_{ 2 }{ -p }_{ 3 } \right) { A }_{ 2 }\\ \quad \quad =\quad \dot { m } c\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \]と書けるようなパラメーターcを考えよう。
この c のことを有効排気速度っていって、見たまんま、推力がすべて燃料噴射の反作用と仮定したときの燃料の噴射速度のことだよ。
この c を使えば色々と式の見た目が良くなるし便利だからよく使われるよ。
実際この記事で今まで「噴出速度」としてたものは正確には有効排気速度になるよ。
この有効排気速度を使えば推力は推力と燃料の質量流量の項目で示したまんまの式が使えるし、それを使えば比推力は\[ { I }_{ sp }\quad =\quad \frac { c }{ { g }_{ 0 } } \]と表せるよね。

まとめ


・推力は\[ F\quad =\quad \dot { m } c \]と表せて、c を 有効排気速度と呼ぶ。
・比推力は燃料の単位重量流量当たりの推力のこと。
・推力にはホントは燃料噴射の反作用によるもの他に圧力差によるものがある。

次回はロケットエンジン設計の第一段階について解説していくよ。🚀

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さて、まずはロケットエンジンの話に入る前に🚀ロケットに関する基礎的なお話からしていこう。
車に関して何も知らないでエンジンは作れないのと同じで、肩慣らしも兼ねてまずはロケットについて考えよう。

到達目標


今回の記事ではロケット方程式と呼ばれる以下の方程式
\[ \Delta V\quad =\quad -c\log { MR } \]
を導出して、その意味について理解するのが目標だよ。


第一宇宙速度


突然だけど人工衛星とライフル弾、どっちが早いと思う?
答えはもちろんライフル弾、じゃなくて人工衛星だね。
どうしてかって?だって人工衛星は落ちてこないじゃないか。

地球を、「中心にすべての質量が集中してる質点」だと近似して、地表面で水平方向に物体を初速度V0で投げることを考える。V0が十分に大きい時、物体は地表に落下せずに地表の高さを円運動するよね。人工衛星とかがこの例。V0が十分じゃないと物体は落下するけど、ライフル弾とかはこっちの場合だといえるね。
さて、V0が十分に大きい時、この初速度V0を第一宇宙速度っていうんだ。つまり海抜0mを物体が落下せずに円運動するときの速度を第一宇宙速度と呼ぶんだ。この速度を求めてみよう。

物体が円運動するとき、物体には遠心力が働く(ように見える)よね。この力が重力と釣り合えば物体は落下しないはずだから、この条件から第一宇宙速度v1を求めてみよう。
地球の質量をM、物体の質量をmとして、地球の中心から海抜0mまでの距離をR、万有引力定数をGとすると、万有引力の法則より、物体には
\[ { F }_{ g }=\frac { GMm }{ { R }^{ 2 } } \]の万有引力Fgが働くよね。一方物体は第一宇宙速度v1で円運動してるから、
\[ { F }_{ c }=\frac { m{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { R } } \]の遠心力Fc (centrifugal force)が働くね。
この二つの力が釣り合ってるわけだから、Fg = Fc より、
\[ { v }_{ 1 }=\sqrt { \frac { GM }{ R } }\quad \approx 7.91[km/s] \]

最後の値は各物理定数に実際の値を代入して計算したら得られるよ。

まあここまでの説明は高校物理で習っただろうし、こんな記事を読んでるようなギーク 聡明な読者様が知らないはずもないだろうってことだいぶはしょったけど、肩慣らしってことで。

これで第一宇宙速度が求まったわけだけど、つまりロケットが人工衛星に与えなきゃいけない最終的な速度が求まったんじゃないかな?
人工衛星を地球周回円軌道に投入したいとすると、(人工衛星の軌道高度を無視すると)7.91[km/s]の速度を与えなきゃいけないってわかるね。地球の自転速度を無視すればね。


ΔV


こんな感じでロケットは究極的にはペイロード(人工衛星)に速度を与えるためだけの道具なんだ
つまり、誤解を恐れずに言うと、ロケットの性能の指標の一つとして、「ロケットがペイロードに与えることができる速度増加」というものが考えられる。この速度増加をΔVっていうんだ。

ΔVは車に例えると残りの(i.e.今ある燃料での)走行可能距離。宇宙では今の速度にこれだけ速度を追加して、新しい軌道なりに投入するということをやるから、あとどれだけ速度を変更できるかっていうのがとても大事で、これがΔVなんだよね。

例としてはさっきやった人工衛星の打ち上げ。第一宇宙速度が 7.91km/s だから、ロケットにはそれ以上のΔVが要求されるよね。
なにもサターンV🚀とかソユーズ🚀みたいな ”ロケット”🚀🚀🚀🚀🚀 に限定して考えなくても、例えば小惑星探査機はやぶさだってエンジンと燃料を積んでたわけで、はやぶさのΔVだって考えることができる。
イトカワに接近するコースに軌道を修正するために例えば2.5m/sの速度変更が必要になったら、2.5m/sのΔVを与えてやればいい。

ところで車の走行可能距離って、ガソリンの量で決まるよね。同じ感じではやぶさのΔVだって、燃料の量で決まりそうじゃない?
実際に求めてみよう。


ロケット方程式


さて、ロケットのΔVを求める前に、もうちょっとちゃんとΔVを定義しなおそう。
問題を単純化するために、ロケットには推進力は一切働かないとしよう。
この状態でロケットエンジンの推進力を一定に保つ。この条件でエンジンをΔtの間動かしたときの速度増加をΔVだと定義しなおそう。

さて、ΔVを再定義したところでこれを求めてみよう。

deltaV



上の画像のような状況を考える。質量Mのロケットが-dMの燃料を相対速度cで噴射して、速度がdV、
質量がdM増えるような状況だね。もちろんロケットの質量は減少するからdMは負だね。
数学では増加を正でとるから、ここではそれに従うよ。
時間tの関数として、ロケットの質量をm、ロケットの速度をvとすると、運動量保存則より、
\[ vm\quad =\quad \left( v+dv \right) \left( m+dm \right) -\left( v+dv-c \right) dm \]\[ cdm\quad +\quad mdv\quad =\quad 0 \]\[ dv\quad =\quad -\frac { c }{ m } dm \]
これを速度がVからV+ΔVに変化するとき、質量がMiからMfに変化したとして積分すると、
\[ \int _{ V }^{ V+\Delta V }{ dv } \quad =\quad -\int _{ { M }_{ i } }^{ { M }_{ f } }{ \frac { c }{ m } dm } \]\[ \Delta V\quad =\quad -c\log { \frac { { M }_{ f } }{ { M }_{ i } } }\]ここでログの中身Mf/MiをMRとすると、最初に出てきた方程式
\[ \Delta V\quad =\quad -c\log { MR } \]
が得られるね。ちなみにMRのことを質量比と呼ぶよ。
これでΔVの式が求まったね。この式をロケット方程式とかツィオルコフスキーの公式とかいうんだ。


ちょっと雑談


ロケット方程式って対数法則を使って、こう書き換えることができるよね。\[ \Delta V\quad =\quad c\log { \frac { { M }_{ i } }{ { M }_{ f } } }\]
はやぶさの残りΔVの話に戻ろう。積分するときに、m が Mi から Mf に変化するとして計算したから、はやぶさの残りの燃料は Mi - Mf であらわされるよね。ということはやっぱりはやぶさの残りのΔVは残りの燃料から求まることがわかったね。

ここで人工衛星打ち上げ用のロケットについて考えよう。Mf ってロケット本体の質量とペイロードの質量の和になるよね。
ペイロードの質量は減らせないし、現実的にロケットの質量を減らすのも限界があるから、ΔVを増やそうと思うとロケット方程式より c を増やすか Mi を増やすしかないよね。
でもちょっと問題があって、c は有効排気速度っていって、のちのちやるけど燃料の組み合わせとか燃焼室圧とか現実的な理由で数km/s程度が限界なんだよね。
で、残るは Mi を増やす、すなわち燃料を増やすしかないんだけど、これをみてほしい。
ΔVの式もわかったわけだから、グラフにしてみた。横軸が燃料、縦軸がΔV。
deltaVgraph

グラフの概形がわかればいいから、値は適当に設定した。
グラフの形を見ると、xが増えれば増えるほど、yが増えにくくなっていってるよね。
つまり、燃料をある程度積んだら、それ以上燃料を積んでもあまりΔVは増えなくなるんだ。

こういう理由から、ΔV > 7.91km/s は現実的には無理なんだ。一段だけでならね。
ロケットが多段式なのはこのせいで、途中でいらない質量を切り捨ててMRを頑張って下げてるんだ。
そこまでやってようやく7.91km/sに到達するのが見えてくる。
実際には空気抵抗とか重力とか、もろもろの損失が加わるから、人工衛星を打ち上げるならもっとΔVが必要になる。

地球は大気の密度も天体の密度も無駄に高くて、おかげで生命が誕生する要因になったらしいけど、脱出しようとすると持ちうるすべての力で激しく抵抗してくる。でも自転方向に飛び出せばちょっとだけ手伝ってもくれる。地球ってツンデレなんだね。

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どうも。熱力学がわからなくて困ってる今日この頃です。

さて、唐突ですが自分への備忘録 & ブログ更新頻度向上 & アクセス数稼ぎ を目的に「液体燃料ロケットエンジンの作り方」と題して、自分が1年間で知り得たロケットエンジン製作に関する知識やノウハウなんかを公開していこうと思います。途中で飽きると思うけど。
需要があるようなら少しは続けようかな。

ロケットエンジンの設計をステップごとに解説しつつ、必要な知識をその都度説明スタイルで、「ロケットエンジンを作る」ことに重点を置く構成にする予定です。定期考査80%、課題20%で評価します。

というわけで、、、

illustrain02-space20


液体燃料ロケットエンジンの作り方 INDEX

記事は随時追加してくよ♡

第一章

この章では主にロケットエンジンの設計に必要な理論について説明します。
ロケット方程式、比推力等、基礎的なコンセプトから始まって最終的にはロケットエンジンの寸法の設計ができるようになるのがこの章の目的です。
例として海抜0mで動作する500N級液体燃料ロケットエンジンを設計するよ♡

  • ロケット方程式の導出とΔV(デルタブイ)

  • 比推力とは?エンジンの性能を決める「推力」と「比推力」

  • 【ステップ1】燃料、供給方式、燃焼室圧の決定

  • 比推力は燃料の組み合わせで決まる?

  • 理想気体の状態方程式と気体の種類に依存する気体定数

  • 【ステップ2】燃焼室温度の計算(理論)

  • エントロピー、エンタルピー、ギブス自由エネルギー

  • 断熱火炎温度、平均分子量、比熱比の計算

  • 【ステップ3】スロートとノズル出口の寸法計算

  • ラバールノズルの理論

  • 推力係数と特性速度

  • 【ステップ4】燃焼室の寸法の決定と特性長さ



二章以降はモチベが続いてたら書くってことで。
すでにだるくなってきたところで、バイバイ。

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金力学第二法則

一人の人間から正の時間を吸収し、それをすべてお金に変える以外に何の影響も残さないのは不可能である。 i.e. 時間からお金への変換は不可逆である。

あ、どうも。トマトです。
先月、バイトのお給料が出たんでプロトンエンジン(覚えてなくて名前確認した)の燃料タンクx2の見積もりをお願いしました。
もう一か月経つというのになかなか結果が返ってこなくて次の月の給料がでました。やったぜ。
まあそろそろお値段のほうが帰ってくると思うので、気長に待ってます。

ところで皆さん、もう夏ですね。
夏といえば炭酸、ってことで40Lの炭酸ガスボンベとかレギュレーターとか色々注文しました。全部で11kくらいかな?
これで炭酸水飲み放題です。やったぜ。
レギュレータは Ali で注文しました。ヤフオクより安かった。AliExpress 最高。
ところで炭酸水1Lあたり8gくらいのCO2が溶けてる計算になるんですけど、40Lボンベ内のCO2って30kgらしいんですよ。ってことは炭酸水が大体3.5kL作れることになりますね。
ボンベはMonotaROでレンタルってことで注文したので、半年で返さなきゃいけないですよね。つまり毎日20Lの炭酸水が飲めるってことになりますね。。。 あ ほ く さ

さすがにそんなにいらないし、第一40Lのボンベって高さ1.3mくらいで重さが80kgくらいとでかくて邪魔。
「できれば小さいボンベが欲しいなー」って思っても小さいボンベをレンタルするのとMonotaRoで40Lレンタルするので価格ほとんど変わらないんですよねー。
どうしたものかと考えてると、「あれ?水流し試験CO2でやればよくね?」っていうことに気付いて結局40Lボンベを借りました。元々はN2を使う予定だったんですけど別に水流し試験なら加圧できれば何でもいいので別にCO2でも問題ないです。



てな感じで不覚にもロケットエンジン関連で進捗が出ました。
水流し試験だけのために安いレギュレーター買うつもりはなかったんですけど、炭酸水用のレギュレーターを買ったんであとは配管部品さえ買えば、何なら注文ボタンさえ押せば、とうとう水流し試験ができる状態です。ここまで長かった。。。

ところがどっこい。ま~だ~時間、かかりそうです。
残り必要な配管部品、バルブは購入済みなんですけどそれ以外の部品が全部で30k、、、
タンクの値段にもよりますけど、バイトの日程的に水流し試験は早くても10月くらいかなぁ。。。やめたくなりますよぉ~
てか編入試験まで一年切ってるんで卒業までに static fire test できないのワンちゃんあるんだよなぁ。。。
夏家庭教師のバイトでもしようかな?一応数学と英語なら教えれるし。
それかクラウドファンディング的なやつに手を出すか?

キモオタ「ロケットエンジン作りたいンゴ。お金クレメンス」
キモオタ「リターン?お礼のメールと図面(ゴミ)ならあるゾ」

(でお金出す人なんてい)ないです。

というわけで現状報告でした。
30kあれば来月には水流し試験できそうなのになー。誰か金くれ。

では。

July 17, 2018 18:30:13 | リコピン日記 | comments [0]
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どうも。完全にブログの更新さぼってました。
てかさっき存在を思い出しました。というわけで更新します。

まず今年度が始まる直前頃かな?四月の頭くらいにテストスタンドが完成しました!

テストスタンド骨組み

やったぜ。モノタロウとハンズマンで材料そろえました。ボルトナット以外はアルミです。
切断とか穴あけとかの加工は自分でやりました。

DSC00517


アルミ板をまずは小さく手作業で切ってから残りはサーキュラーソーで切って穴開けて。
まっすぐ切るのって難しいですね。あとドリル歯一本折りました。

DSC00518


ヒヤリハットというか事故ですね。怪我せずに済んだんで良かったです。

細部はこんな感じ。

DSC00521


雰囲気出てる。いい感じ。
まあ実際見ると精度もくそもないような代物なんですけどね。
用が足りればそれでいいです。そこはご愛敬ってことで。

そんなわけでテストスタンドの骨組みが完成したのはいいんですけど、お金が尽きたんですよ。
そこに追い打ちをかけるように燃料タンクの見積もり結果が帰ってきて、おひとつ20k強。燃料と酸化剤で2ついるんで合計45kくらいになるとのこと。
まあ2つで100kとか想定してたんで案外安く作っていただけるみたいで、そこはよかったのですが45k。。。当然そんなお金ないんですよね。

というわけでバイト始めました。お金は稼ぐしかないからね。しょうがないね。中学の頃これができてたらなー。
お金はどうせいくらでも必要になってくるし、学校以外の社会との接点を持つという意味でもバイトするってのは完全に無意味な行為ではないような気がしなくもないからしばらく続けます。

そんな感じですね。とりあえず給料日まではバイトと中間考査頑張ります。学校関係でやってるレーザーの研究も頓挫したし、そっちも新しい方法を考えないとなぁ。。。
給料出たらちょうど燃料タンク2つ買えるお金になるはずなのでロケットエンジンに関してはそれまで進捗はなしかな。

では~♪


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